[Ausg. 42] Seite 04. Railgun und die Gaußsche Normalverteilung

[I_C.AVE.MAN_I]

Wahrscheinlichkeitsrechnen mit Railgun Teil II - die Gaußsche Normalverteilung

 

 

Vorbemerkungen

 

Seit der globalen Aktualisierung der Spielbalance beschäftige ich mit der Schadenverteilung von Railgun und der Wahrscheinlichkeit für das Überleben eines Two-Hits in einer XP/BP. In meinem ersten Artikel habe ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach La Place, bei dem jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, dargestellt. Da die errechnete Wahrscheinlichkeit deutlich höher als die erwartete Wahrscheinlichkeit war, habe ich mich letztes Jahr an @Dim1971 gewandt, um Informationen über die Schadenformel von Railgun zu erhalten. Leider wollen die Entwickler die Schadenformel von Railgun nicht publik machen.

 

Auf der Suche nach anderen Lösungsansätzen und den Hinweisen von @Rohrmeister auf das EN-Wiki habe ich mich mit Methoden aus der Statistik zur Beschreibung von Daten und mit Aussagen über das Schätzen unbekannter Parameter und das Testen von Hypothesen beschäftigt. Als Folge meiner Überlegungen habe ich XP/BP-Schlachten die Schadenswerte aufgeschrieben und ausgewertet. Dadurch habe ich einen Weg gefunden, wie mit Formeln aus der Statistik die Schadenverteilung einer Railgun nach der Standardnormalverteilung berechnet und dargestellt werden kann.

 

Mit dem nachfolgenden Beitrag möchte ich euch zeigen, wie ich vorgegangen bin und zu welchen Ergebnissen ich gelangt bin, sowie euch die dazu erforderlichen komplexen Formeln und einige Begriffe aus der Stochastik (="Kunst des Vermutens" oder Wahrscheinlichkeitsrechnung) erklären.

Während ich diesen Artikel erstellt habe, wurden mit Update # 449 der Schaden von Railgun und der Schutz von Wasp/Hornet verändert, so dass ich auf die Wahrscheinlichkeiten vor und nach dem Update eingehe.

 

 

Die Schadenverteilung um den Mittelwert im Test

                        

Der M3-Railschaden betrug bis zum Update #449 min. 672,94 und max. 1.350,59, der Mittelwert 1.011,765. Der gerundete Schaden min. 673 und max. 1.351; der gerundete Mittelwert 1.012.

Ausgehend von den gerundeten Schadenswerten habe ich zunächst den Schaden über und unter dem Mittelwert in mehreren Schlachten mitgezählt. Die Zählmethode ist relativ einfach: Schaden über dem Mittelwert +1: Schaden unter dem Mittelwert -1. Dabei habe ich nur Treffer auf M3 Untersätze gezählt. Treffer auf M2-Untersätze oder Fehlschüsse habe / bzw. konnte ich nicht werten. Da bei einer ausreichend großen Zählmenge sich die Fehlschüsse oder M2-Hits gleich verteilen, kann man bei der Auswertung auf diese Schüsse verzichten.

Als Ergebnis aus mehreren Schlachten habe ich festgestellt, dass der Schaden mit einem Zählwert von ± 0  annähernd gleich verteilt ist,

 

 

Die Schadenwerte aus Stichproben

 

Nachdem ich mich mit Methoden aus der Statistik beschäftigt habe, habe ich nach dem gleichen Zählprinzip an 4 Tagen den Schaden von jeweils 125 M3-Treffen als Stichprobe notiert und ausgewertet. Die Schadenswerte stammen zur Hälfte aus Schießplatz CP, und zu je ein Viertel aus Sandkasten CTF und Wüste DM.

Da ein Schaden um den Mittelwert häufiger anzutreffen ist, als im minimalen oder maximalen Bereich, habe ich zur bildhaften Darstellung die Häufigkeit der Schäden in einer Skala in 50-ziger Schritten mit Excel ausgewertet und zusammengefasst. Die Schadenkurven sehen wie folgt aus:

 

 

Der Schadenmittelwert der gesamten Stichprobe beträgt 1.011,63 und entspricht damit fast dem rechnerischen mittleren Schaden von Railgun. Die Standardabweichung der Stichprobe von 500 Rail-Treffern beträgt 111,135. Die rote Kurve aus dem Mittelwert aller Stichproben ähnelt stark der Glockenkurve der Gaußschen Normalverteilung.

 

Die Normalverteilung des Schadens von Railgun M3 mit einer Standardabweichung von 111,135 und mit einem μ - Wert von 0 hat folgendes Aussehen (damit der Verlauf der Schadenskurve besser sichtbar wird, ist der σ-Wert um den Faktor 100 gekürzt):

 

 

Mit diesen Erkenntnissen habe ich weitere Berechnungen und Überlegungen unternommen und erneut bei @Dim1971 angefragt, ob er mir den offiziellen Wert der Standardabweichung für Railgun M3 von Tanki Online nennen kann. Dim gab sich zwar viel Mühe, musste aber mitteilen, dass die Entwickler auch diesen Wert nicht weitergeben wollen. 

Mit offiziellen Werten von Tanki ließe sich die Wahrscheinlichkeit genauer berechnen; da die Stichprobe groß genug ist und sehr nahe am Mittelwert der Grundgesamtheit liegt, kann ich nach dem "zentralen Grenzwertsatz" der Statistik von diesem Wert für die weiteren Berechnungen ausgehen, auch wenn die ermittelten Standardabweichungen aus meinen Stichproben eine gewisse Unschärfe (dazu nachfolgend mehr) haben.

 

 

Begriffserklärung: Standardabweichung und Varianz

 

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit die einzelnen Zahlen verteilt oder um den Mittelwert verstreut sind. Die Standardabweichung ist damit ein Indikator, der die Streuung angibt.

Genauer gesagt, gibt sie an, wie weit die einzelnen Messwerte im Durchschnitt von einem Erwartungswert (Mittelwert) entfernt sind. Der kleine griechische Buchstabe Sigma σ wird für die Standardabweichung der Grundgesamtheit (oder Gesamtmenge) benutzt. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird aus der Standardabweichung der Stichprobe geschätzt und diese wird auch mit einem kleinen s geschrieben.

 

 

Die beiden Formeln für die Standardabweichung der Grundgesamtheit und der Stichprobe unterscheiden sich lediglich dadurch, dass bei der einen durch die Anzahl n und bei der anderen durch n-1 geteilt wird. Der Wert n-1 korrigiert die Standardabweichung für kleinere Abweichungen aus einer Stichprobe und wird zur Schätzungskorrektur verwendet.

 

In der Stochastik ist die Varianz ein wichtiges Streuungsmaß der Wahrscheinlichkeitsverteilung von reellen Zufallsvariablen. Sie beschreibt die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert oder vom erwarteten Mittelwert. Für den Erwartungswert  μ  wird der kleine griechische Buchstabe My benutzt.

 

Hierzu ein Zahlenbeispiel zur Verdeutlichung der Begriffe Standardabweichung und Varianz:

 

Kurzdefinition: Die Standardabweichung ist die Wurzel der mittleren quadratischen Abweichung.

 

 

Die Normalverteilung nach Gauß

 

Die von Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) entwickelte Funktion zur Normalverteilung ist in der angewandten Statistik ein wichtiger Typ der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Gaußschen Normalverteilung wird auch Glockenkurve genannt und mit dieser Formel berechnet:

 

Der Vorfaktor  1 / √2π  stellt sicher, dass die gesamte Fläche unter der Kurve (und damit auch das Integral von ^-∞ bis ⁺∞) eine   Fläche von genau 1 hat. Die ½ im Exponenten der e-Funktion gibt der Normalverteilung eine Einheitsvarianz und damit auch eine Einheitsstandardabweichung. Die Standardabweichung ist σ. Der Erwartungswert μ legt fest, an welcher Stelle die Normalverteilung ihr Maximum haben wird.

 

Die Gaußsche Formel mit der Glockenkurve und ein Porträtbild von Gauß waren auf der Vorderseite der von 1991 bis 2001 in den Umlauf gegebenen 10-Mark-Scheine abgedruckt.

 

 

Eigenschaften der Normalverteilung

 

 

Die Normalverteilung ist  symmetrisch  wobei die vertikale Achse der Symmetrie bei x = μ liegt, an der sie auch das Maximum erreicht. Dieser Wert ist auch der Median und Erwartungswert der Verteilung. Sie hat  zwei   Wendestellen : beide Wendestellen sind genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt, nämlich bei x₁ = μ - σ und x₂ = μ + σ.

Kleinere Werte von σ lassen den Graphen der Normalverteilung um den Erwartungswert herum steiler verlaufen (kleine Streuung, rote Linie: σ = 0,5). Größere Werte von σ flachen die Graphen ab (grüne Linie: σ = 2).

Die  68-95-99,7-Reg el  gibt an, dass bei einer Normalverteilung fast alle Werte innerhalb drei Standardabweichungen vom Mittelwert aus fallen. Ungefähr 68,27% der Werte liegen innerhalb einer Standardweichung vom Mittelwert. Ebenso liegen ungefähr 95,45% der Werte innerhalb von zwei Standabweichungen vom Mittelwert. Und ca. 99,73% der Werte befinden sich innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

 

 

Faustregel zur Standardabweichung einer Normalverteilung

 

Aus der 68-95-99,7-Regel lässt sich die grobe Faustregel ableiten, dass die Standardabweichung σ ca. 1/6 der Spanne zwischen Minimum und Maximum beträgt, da 99,73% der Werte im Bereich von  μ ± 3 σ   oder der 6-fachen Standardabweichung liegen.

Für eine möglichst gleichmäßige Schadenverteilung macht es also Sinn, die Standardabweichung σ am Wert von 1/6 der vorgegebenen Schadenspanne vom Schadenminimum zum Schadenmaximum zu orientieren, um die Spannweite der Normalverteilung optimal auszunutzen. Wählt man einen größeren Wert, wird die Streuung größer, die Kurve flacher und es steigen die Chancen für einen "Lucky Shot" aber auch gleichzeitig für einen unglücklichen Schuss. Wählt man einen kleineren Wert, wird die Kurve steiler und es gibt weniger "Lucky Shot's".

Die Game-Designer können die Standardabweichung für jede M-Stufe größer oder kleiner als 1/6 der Schadenspanne wählen, um die Eigenschaften der Schadenverteilung zu beeinflussen.

 

 

"Gaußscher Zufallsgenerator" – oder wie man Zufallszahlen für eine Normalverteilung erzeugt

 

Aufgrund von weiteren Überlegungen und Recherchen gehe ich davon aus, dass der Schaden von Railgun mit einem Zufallsgenerator nach der Gaußschen Normalverteilung generiert wird und dass meine Berechnungen nahe an den echten Werten liegen. In Excel wird eine Gaußsche Zufallszahl mit dieser Formel erzeugt:

=NORMINV(ZUFALLSZAHL();Mittelwert;Stabwn)

 

Der neue Schaden von Rail M3 liegt bei 703,53 – 1.414,12, der Mittelwert μ ist somit 1.058,825 (bisher: 1.011,765), Stabwn ist die Standardabweichung σ von ca. 1/6 der Schadenspannweite. Die so erzeugte Zufallszahl muss auf das Schadenminimum bzw. -maximum von Railgun gekappt werden.

Der Vorteil eines Gauß-Zufallsgenerators ist, dass mit den beiden Variabeln  μ  und  σ  die Schadeneigenschaften von Railgun erzeugt und auch leicht verändert oder angepasst und beeinflusst werden können, so wie dies aktuell mit dem Update #449 vom 16.03.2017 geschehen ist.

 

Mit dieser Formel lassen sich in Excel leicht gleichzeitig per Mausklick mehrere Tausend Railschüsse generieren. Die Auswertung der so generierten Railschüsse ergab, dass auch bei einer geringen Abweichung von ± 0,5 um einen erwarteten Mittelwert μ die gemessenen Standartabweichung einer Rail-Stichprobe von 500 bzw. 600 simulierten Railschüssen erheblich streuen oder schwanken kann und sich die Werte erst bei ca. 10.000 simulierten Zufallsschüssen stabilisieren.

Die Gründe für die Unschärfen oder Schwankungen in meinen Stichproben können verschiedene Ursachen haben. Nahe liegend ist, dass meine Stichproben zu klein sind, da Fehlschüsse oder M2-Hits nicht gewertet werden. Weiterhin ist mir nicht bekannt, nach welcher Methode die Kappung auf die Schadensspanne von Rail erfolgt, da die Kappungsmethode die Messwerte einer Stichprobe beeinflussen kann. Der Hauptgrund für diese Schwankungsbreite ist der hohe Wert der Standardabweichung von ca. 118 (bzw. 113 vor dem Update), da in den meisten Beispielsfällen zur Stochastik die Standardabweichungen im einstelligen Bereich liegen.

 

 

Die Wahrscheinlichkeit bei der Kombination von zwei Railgunschüssen

 

Bei einer Kombination von zwei Railgunschüssen, darf man die Standardabweichungen der Normalverteilung weder addieren noch die Ergebnisse multiplizieren noch die Kurven verdoppeln, da bei einer Kombination von Normalverteilungen sich die Standardabweichungen oder die Wahrscheinlichkeiten teilweise gegeneinander aufheben. In einer XP/BP sind der erste und der zweite Hit zu und von jedem Spieler unabhängig voneinander. Daher liegt für die Kombination von zwei Schüssen eine neue "unabhängige normale Verteilung" vor. Das Ergebnis von zwei Schüssen ist eine neue Normalverteilung mit einer neuen Standardabweichung.  

Zwei Normalverteilungen werden kombiniert, in dem die beiden Mittelwerte  μ  addiert und als neue Standartabweichung die Wurzel aus der Addition der beiden Varianzen (σ²) verwendet.

Dies wird mit folgender Formel dargestellt: 

 

Dies hört sich komplizierter an, als es ist. Die vor dem Update gesuchte Standardabweichung von zwei M3-Railschüssen errechnet sich aus dem von Mittelwert 1.012 und der Stichprobenstandartabweichung von 111,13 wie folgt:

 μ_neu   =  1.012 + 1012 =  2.024 

 σ_neu   =  √ (111,13² + 111,13²)  =  157,16155 

 x_n eu   =  1682 (HP von Wasp od. Hornet M3) -1 = 1.681 (größter Minimalschaden)

 

Mit diesen drei Werten kann man nun einen neuen Graphen erstellen oder die Überlebenswahrscheinlichkeit mit einem Normalverteilungsrechner berechen. Hinweis: in Excel trägt man diese Werte in die Formel  =NORMVERT(x;μ;σ;1) ein. Da das Ergebnis zwischen 0 und 1 liegt ergibt die Multiplikation mit 100 die Wahrscheinlichkeit in Prozent.

 

Schadenkurve von zwei M3 Railgunschüssen

Die rote Fläche reicht von 1.346 (2 x Minimalschaden)
bis 1.681 (HP -1 von Wasp od. Hornet)

 

Vor dem Update betrug die rechnerische Überlebenswahrscheinlichkeit für einen Two-Hit nach der Gaußschen Normalverteilung bei einer Standardabweichung von 111,13 rd.:  1,45 %

Anders ausgedrückt: von rund 69 Kills war im Schnitt ein Three-Hit dabei.

 

 

Two-Hit Überlebenswahrscheinlichkeit für M3 nach dem Update #449

 

Nach dem Update habe ich erneut eine Stichprobe von 600 Rail-Treffen aufgeschrieben und ausgewertet. Die Standardabweichung meiner Stichprobe beträgt rd. 125,04 und weicht deutlich vom erwarteten 1/6-Faustwert (118,33) ab, obwohl der Mittelwert der Stichprobe mit 1.058,52 sehr nahe am arithmetischen Mittelwert von 1.058,825 (703,53 – 1.414,12) liegt.

 

Die Wahrscheinlichkeiten P (= Probilitas) für beide Standardabweichungen (Stichprobe und Faustwert) berechnen sich wie folgt:

 

Der neue Schaden von Rail M3 beträgt gerundet 704 – 1.414 und der Mittelwert folglich 1.059.

Der neue Schutz von Wasp/Hornet M3 beträgt rd. 1.765, der gesuchte größte Minimalschaden (1.765 – 1 = ) 1.764.

	Stichprobe	Faustwert 1/6
Mittelwert μ + μ	2.118	2.118
Schadenspanne		710
StabW σ	125	118,333
Varianz	15.625	14.002,78
Addition	31.250	28.005,56
Wurzel => σ neu	176,7766953	167,3486049
P bei x = 1.764	2,26%	1,72%

Ergebnis:

Die Überlebenswahrscheinlichkeit für einen Two-Hit ist nach dem Update leicht gestiegen. Nach der Gaußschen Normalverteilung kann man damit rechen, dass die Three-Hit-Wahrscheinlichkeit für einen M3 Untersatz ca. 1,7% beträgt oder dass man nach rund 58 Kills einem Three-Hit erwarten kann.

 

Diese statistische Berechnungen zur Wahrscheinlichkeit gelten für XP/BP mit M3-Ausrüstung mit beliebig vielen Spielern. Das Ergebnis d.h. die Überlebenswahrscheinlichkeit steigt, bei einem Rail M2-Treffer oder bei einem Durchschuss-Treffer, da der Durchschus-Folgeschaden nur 88,24% beträgt. Daher hat ein Schießplatz CP-Eroberer, der in der Mitte mehr Durchschuss-Treffer abbekommt, in einer gemischten M2, M3 Schlacht eine höhere Chance auf einen Three-Hit, auch wenn er öfters gekillt wird, als in einer CTF.

 

 

Kuriosität oder Absicht – Überlebenswahrscheinlichkeit von M2-Untersätzen

 

Bereits kurz nach dem Update fiel mir auf, dass in einer XP/BP ein Hornet M2 eine bessere Überlebensrate für einen Two-Hit, als vor dem Update hat. Ich beobachtete mehrmals Hornet M2, die kurz hintereinander zwei M3 Doppeltreffer überlebten.

Woran liegt das? Steckt da Absicht dahinter oder ist bei der Balanceanpassung etwas aus dem Gleichgewicht geraten?

 

Mit dem Update wurde der mittlere Schaden von Railgun M3 um rund 4,6% und der Schutz von einem M3 Hornet /Wasp um rund 4,9% erhöht. Bei M2 wurde der mittlere Schaden von Railgun um rund 12,5%, der Schutz von Wasp um 9% und der von Hornet um 14,4% erhöht.

Die Hauptursache der verbesserten Überlebensrate liegt daran, dass der M2-Schutz von Wasp um das zweifache und der Hornet-Schutz um das dreifache der M3-Rail-Schadenanhebung verstärkt wurde, während der Railschutz von 12% bzw. 24% unverändert bliebt. Da der Schutz nicht den Untersatz stärkt sondern die Schadenswirkung einer Waffe um den jeweiligen Prozentsatz mindert, wird die Standardabweichung σ im gleichen Verhältnis gemindert.

Aus den Standartabweichungen der Stichproben lassen sich für die jeweiligen Untersätze die Überlebenswahrscheinlichkeit von zwei M3-Hits (mit Standardabweichung aus der Stichprobenwerte und für den Faustwert 1/6) für die neuen und die alten Werte berechen:

Nach diesen Berechnungen lag vor dem Update die M3 Two-Hit Überlebenswahrscheinlichkeit für alle Untersätze annähernd gleich bei rund 1,7%. Kurioser Weise haben die M2 Untersätze nach dem Update insgesamt eine bessere Überlebenschance bei einem M3-Doppel-Hit als M3-Untersätze.

 

Nach dem Update ergibt sich aus dem Schätzwert für die Standardabweichung σ = 1/6 der Schadenspannweite nach der Gaußschen Normalverteilung folgende Werte für die Überlebenswahrscheinlichkeiten von M2 und M3:

 

Anmerkung:

Selbst wenn die mit 1/6 angenommene Standardabweichungen bei M3 σ = 118,3 und Bei M2 σ = 101,7 um die Unschärfe bzw. um eine Toleranz von ± 8% angepasst wird, ändern sich die Überlebenswahrscheinlichkeiten nur geringfügig. Die Schwankungsbreiten sind als kleine Zahlen in der Tabelle enthalten.

 

Die stärkste Kombi in einer XP/BP ist damit:  Railgun M3 mit Hornet M2.

 

In gemischten M2/M3-Schlachten wird ein XP M2-Spieler die höhere Überlebenswahrscheinlichkeit für einen M3 Doppel-Hit kaum erkennen, da er nicht bei jedem Hit unterscheiden kann, ob der Treffer von M2 oder M3 rührt und vor dem Update die Rail-M2 Two-Hit Überlebensrate bei rd. 75% und bei einer Trefferkombination von M2 + M3  bei rd. 19% lag.

Will man die alte Balance wiederherstellen und eine annähernd gleiche Überlebenswahrscheinlichkeiten für alle Untersätze erreichen, müsste der Schutzfaktor von M2 jeweils um 1/3 auf  8% für Wasp und auf  16% für Hornet gesenkt werden.

 

 

Zum Schluss

 

Bei all' den statistischen Berechnungen, die auf Schätzwerten zur Standardabweichung beruhen und von den echten Werten abweichen können, sollte man bedenken:

 

Ich freue ich mich auf Eure Beiträge, die mir bei der Suche nach verlässlichen Ausgangswerten für die Berechnung der Schadenswahrscheinlichkeit von Railgun weiterhelfen.

 

 

Euer @I_C.AVE.MAN_I

 

am 12. April 2017 von Chains.of.Pain bearbeitet

[FelRigge]

:huh: wow

[beihai]

"Du freust dich auf Beiträge, ICMan ..."

 

Da war doch in einem der vorigen Zeitungsausgaben das Topic mit den Quadratischen Gleichungen

am Beispiel des Anhalteweges des Wiking.

Oder war es die Zeit ?

 

So entgleitet mir die Erinnerung an ein, noch immer, sehr interessantes Thema,

wenn es nicht durch seinen Ersteller moderiert wird,

wie damals geschehen.

 

Hoffe, das wird nicht auch hier so sein.

Wenn hier also sinnvolle Beiträge auch junger Forennutzer zur Gaußschen Glockenkurve tatsächlich gewünscht werden,

dann wäre eine dezentere Einführung ins Thema sinnvoll gewesen.

 

Sei's drum, auch die stillen Leser könnten einen Gewinn daraus ziehen,

mit diesem hochwertigen Artikel oben (zur Auffrischung ihres Schulstoffes ?) konfrontiert worden zu sein.

 

Wohlsein.

am 12. April 2017 von beihai bearbeitet

[I_C.AVE.MAN_I]

"Du freust dich auf Beiträge, ICMan ..."

 

Da war doch in einem der vorigen Zeitungsausgaben das Topic mit den Quadratischen Gleichungen

am Beispiel des Anhalteweges des Wiking.

Oder war es die Zeit ?

 

So entgleitet mir die Erinnerung an ein, noch immer, sehr interessantes Thema,

wenn es nicht durch seinen Ersteller moderiert wird,

wie damals geschehen.

 

Hoffe, das wird nicht auch hier so sein.

Wenn hier also sinnvolle Beiträge auch junger Forennutzer zur Gaußschen Glockenkurve tatsächlich gewünscht werden,

dann wäre eine dezentere Einführung ins Thema sinnvoll gewesen.

 

Sei's drum, auch die stillen Leser könnten einen Gewinn daraus ziehen,

mit diesem hochwertigen Artikel oben (zur Auffrischung ihres Schulstoffes ?) konfrontiert worden zu sein.

 

Wohlsein.

Ich denke, dass die Kenntnisse um die erwartete Überlebenswahrscheinlichkeiten einen reellen Bezug haben und jeden XP/BP-Spieler zum mit- und nachdenken animieren.

 

In einem Punkt muss ich dich leider enttäuschen – die Gaussche Normalverteilung war bei mir (bis zum Mathe-Abi) nie Schulstoff. Selbst Studenten mit zwei Semester Statistik konnten mir auf Anhieb keinen Lösungsansatz für die Kombination von zwei Normalverteilungen nennen. Daher erwarte ich von den "jungen Forumsnutzern" keine mathematische Beiträge; es ist schon ein Gewinn, wenn sie ihre Beobachtungsgabe schärfen und auf die Details bei den Überlebenswahrscheinlichkeiten der Untersätzen achten.

[komandon44]

Hab mir das durchgelesen weil das so viel ist :D

[Prinz]

So einen wie dich sollten sie ins Reporter Team stecken. Du gibst dir mühe und machst deine Sache gut.

[Riposte]

Mich würde es nicht wundern, wenn Cave bald im Reporter-Team ist  ^_^

Ich wünsche ihm viel Glück  :D

[V_O_L_K_O_D_L_A_K]

Ob mans glaubt oder nicht, aber ich hab mir das von Anfang bis Ende durchgelesen auch wenn ich nicht alles ganz verstanden habe. :'D

 

Aber super Doktorarbeit, die du mal wieder abgelegt hast!  :wub: