[Ausg. 27] Seite 25. Mathe mit Martin

[Vincere]

Um mal einen pädagogisch wertvollen Beitrag zu schreiben, bringe ich heute ein wenig Mathe bei, fragt mich aber nicht wie ich auf die Idee gekommen bin.

 

Dieses mal behandeln wir das Thema:
Ableitungen / Berechnung von Extremstellen eine Funktion 3ten Grades.

 

Dafür müsst ihr das schon können:
PQ-Formel
Allgemeine Rechenvorgänge
Äquivalentes Umformen

 

Für die Ableitungen brauchen wir ein paar Regeln, ich werde euch erstmal nur einige zeigen, wenn ihr dann davon mehr lernen wollt, dann schreibt es mir in die Antworten!

 

Doch erstmal eine allgemeine Ableitung einer Funktion 3ten Grades. Dabei werden die Ableitungen mit einem Strich signiert. Heißt also die erste Ableitung bekommt einen Strich, die zweite zwei Striche und so weiter.

 

f(x)=ax³+bx²+cx+d

 

f`(x)=3ax²+bx+c

 

f´´(x)=6ax+b

 

-Potenzregel-

 

Für jede natürliche Zahl n gilt:
(x^n)´=n*x^n-1

 

Hier noch ein paar Beispiele:
f(x)=x²
f´(x)=2x

 

g(x)=3x³
g´(x)=9x²

 

-Konstantenregel-

 

Für jede reelle Konstante C gilt:
( C )`=0

 

Hier die Beispiele dazu:
f(x)=3
f´(x)=0

 

g(x)=3x²+4x²+3x-9
g´(x)= 6x²+8x+3-0

 

-Summenregel-

 

Sind die Funktionen f und g auf dem Intervall I differenzierbar, so ist auch ihre Summenfunktion f+g dort differenzierbar und es gilt:
(f(x)+g(x))´=f´(x)+g´(x)

 

Hier noch ein Beispiel:
f(x)=(x²+x³)
f´(x)=2x+3x²

 

-Extremstellen-

 

So nun können wir einfache Ableitungen bilden, so kommen wir gleich zu der Berechnung von den Extremstellen.
Da haben wir 2 Bedingungen!
Einmal die notwendige:
f´(x)=0
Also wenn bei x ein lokales Extremum von f liegt, dann ist f´(x)=0

 

Dann noch die hinreichende:
f´´(x)<0 = lokales Maximum (Hochpunkt)
f´´(x)>0= lokales Minimum (Tiefpunkt)

 

Hier noch eine Beispielrechnung zur Vertiefung:

 

f(x)=3x³+4x²+8x-1
f´(x)=9x²+4x-8
f´´(x)=18x-4

 

f´(x)=0

 

0=9x²+4x-8
(Das bringen wir in die Normalform, also alles durch 9 teilen)
0=x²+0,4x+0,8 p=0,4 q=-0,8
x1,2=-(0,4/2)+-(Wurzel von: (0,4/2)²+0,8)
x1=0,71
x2=-1,11

 

f``(x)<>0
f´´(0,71)=18*0,71-4=8,78>0 (Tiefpunkt)
f´´(-1,11)=18*(-1,11)-4=-23,98<0 (Hochpunkt)

 

Extremstellen:
x1=0,71
x2=-1,11

 

Wenn ihr Fragen habt, dann schreibt mir diese per PM.

 

Und was könnt ihr damit in Tanki erreichen?
Nun, wir fangen an damit, dass ihr mehr Erfahrung in Mathematik habt, als andere Spieler und ihr könnt auch einiges berechnen! Wenn ihr euch aufgeschrieben habt, wie viele Kristalle ihr so pro Tag gemacht hab, könnt ihr mit diesen Rechenverfahren eure maximale und minimale Zahl von Kristallen ausrechnen! Zu dem könnt ihr eine ganze Funktion für eure Kristalle erstellen!

 

am 30. Juli 2017 von Chains.of.Pain bearbeitet

[beihai]

Das ist ein ausgezeichnetes Topic, M !

Aber warum Fragen nur als PM,

und nicht öffentlich ?

 

Hoffentlich kommen dazu noch viele weitere Folgen.

Und evtl. auch mit Aufgaben, über die wir dann,

explizit, weil nicht mit Kristallen belohnt,

diskutieren können.

 

Bei einem Einstieg in die Differenzialrechnung

sollte man allerdings ein paar Skizzen zu Tangenten an eine Kurve bringen,

zur Veranschaulichung.

Daraus dann die ersten Gleichungen herleiten.

 

So kann man dann sehen,

dass eine waagerechte Gerade (Steigung Null) eben die Extrempunkte einer Kurve berührt,

und damit kennzeichnet.

 

Wer allerdings noch keine Differenzialrechnung in der Schule gehabt hat,

und sich dennoch nicht von den Gleichungen abschrecken lässt,

der hat meinen Respekt !

 

Wohlsein.

am 24. Dezember 2015 von beihai bearbeitet

[Water]

Und jetzt auf Deutsch Bitte!

am 24. Dezember 2015 von Water bearbeitet

[beihai]

 

Und jetzt auf Deutsch Bitte!

 

Da geht's also schon los.

 

Wir müssen also weiter vorn anfangen.

 

f(x)= liest sich: f von x gleich ... gefolgt von der algebraischen Gleichung dritten Grades wie obenstehend.

f´(x)= liest sich f Strich von x gleich ... gefolgt von der dann abgeleiteten Gleichung,

die dann eine einfachere Gleichung darstellt, als die ursprüngliche.

Sie gibt die Steigung für jeden Punkt der ursprünglichen Geraden an.

 

Wie ein Punkt eine Steigung haben kann ?

 

Wofür man diese Steigung braucht ?

 

Wer es wissen will,

bzw. schon weiß und erklären will -

bitte, hier ist die Gelegenheit !

 

Ws.

am 24. Dezember 2015 von beihai bearbeitet

[Vincere]

Danke für euer Feedback, bin echt froh darüber! Ich werde versuchen in der nächsten Ausgabe etwas einfachere Sachen dar zu stellen!
P.S. Das ist mein großer Account. =)

Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch wünsch ich euch. 

[Rekstarr]

Was bringt das?

[beihai]

Was bringt das?

Du meinst die Differenzialrechnung ?

Die moderne Technik basiert darauf.

 

Die Dinge sollen ja nicht nur irgendwie funktionieren,

sondern auch günstig produziert werden.

 

Es fängt an bei der Minimum-/Maximumrechnung.

In der Schule kommen sie einem zuerst mit der Dose:

Wann hat ein Zylinder sein optimales Volumen-Oberflächen(Material)-Verhältnis ?

 

Das ließe sich auch durch Herumprobieren finden,

aber in der Praxis hat man es meistens mit etwas komplizierteren Körpern zu tun.

 

Dann wären da die Bewegungen von Körpern,

die man miteinander abstimmen muss.

Da merkt man schnell,

dass es mit den einfachen Fall- und Wurfgleichungen nicht weitergeht.

 

Anwender brauchen so etwas wohl eher selten, wenn überhaupt,

Entwickler, Ingenieure, Wissenschaftler dagegen praktisch täglich.

 

Ws.

[C_JlIO6oBbIO]

Ich finde den Artikel super :D

[pommes12345]

So und dein nächstes Topik bitte für Dumme :p

[pap_GER]

Echt schönes Topik, aber ich kanns schon :P